期权交易是八十年代以来国际金融市场颇具特色的合同交易,其最基本用途是为了转移利率和汇率变动风险,最大特点是在保留从有利价格变动中获取收益可能性的同时,也防止了不利价格变动可能带来的更大损失。另外,期权是许许多多有价证券、金融工具的建筑砌块,因此无论怎样强调期权定价的重要性都不过分。
Black─Scholes(1973)假设股票价格的对数变化遵循Wiener-Levy过程,建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合,导致一个偏微分方程式,解一个热力学扩散方程,得到期权价格解析解,即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式;Garman与Kohlhagen(1983)及Grabbe(1983)等人基于同样思路,建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合,得到欧式外汇Call期权定价公式,以上计算都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein(1979)使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设,利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式,随后Geske和Johnson(1984)推导出美式期权定价精确解析式。本文目的一是通过二项式定价公式推导过程,进一步解释推导中假设条件的经济涵义;二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。
首先,利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式;其次,给出一般表达式。
一、期权抛补的利率平价关系
由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系联系在一起,与远期抛补利率平价(forward-cover IRP)类似,货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价(option-cover IRP)关系,以下就根据无风险资产组合(即套利)过程,不考虑佣金因素影响,应用单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。设
S＝周期初即期汇率,以每一个外币相当于若干本币来表示
Co＝周期初外币Call期权价格
X＝执行价格,以每一个外币相当于若干本币来表示
t＝单周期Call期权有效期,单位:年
r＝本币无风险利率,单位:％p.a.
f＝外币无风险利率,单位:％p.a.
St＝期末的即期汇率
第一步：根据二项式价格分布涵义,设将来(单周期末的)即期汇率只有uS和dS两个值,看一看周期末即期汇率分布和外币Call价值分布：
不失一般性,可假设
u＞d＞0 (1)
当即期汇率从期初S升值到期末St＝uS,则此时外币Call价值
Cu＝max{0,uS－X}≥0 (2)
当即期汇率从期初S贬值到期末St＝dS,则此时外币Call价值
Cd＝max{0,dS－X}≥0 (3)
根据期权性质,Co≥0 (4)
以上条件也就是推导期初Call价值计算公式时所依据的边界条件。从期初到期末汇率分支如图1,外币Call价值分支如图2。
期初即期汇率 期末即期汇率 期初Call权 期末Call权
│ │ 价值 价值
│ ↓ │ ↓
↓ φ uS ↓ Cu＝max{0,uS－X}
S Co
1－φ dS Cd＝max{0,dS－X}
图1 单周期即期汇率二项式分支图 图2 外币Call价值二项式分支图
第二步：利用Call期权与其它金融工具构造无风险套期保值资产组合(即该期权组合保持δ中性)。构造该无风险资产组合的关键是推导出该组合中现货市场金融工具(如外币债券)数量与该周期内期权数量的套期比率H(Hedging Ratio)。
假设某投资者周期末持有一单位外币债券多头和H个外币Call期权空头,那么,首先要求出以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt,其结果参见表1。
表1 套期保值组合的总期末价值(以本币衡量)
─────┬───────┬───────┬──────
│期末一单位外币│ 外币Call期权 │套期保值组合
│债券多头的价值│ 空头期末价值 │期末总价值Vt
─────┼───────┼───────┼──────
当St＝u×S│ 1×u×S │ －H×Cu │ u×S－H×Cu
当St＝d×S│ 1×d×S │ －H×Cd │ d×S－H×Cd
─────┴───────┴───────┴──────
为了使套期保值组合的期末总价值Vt不随St变化而变化,即保持期权组合δ中性,则必须要求
Vt＝uS－H×Cu＝dS－H×Cd (5)
解以上方程即得：
uS－dS u－d
H＝ ────＝ ───×S (6)
Cu－Cd Cu－Cd
dCu－uCd
Vt＝─────×S (7)
Cu－Cd
其次,计算一下该投资者期初总支出Vo。期末一单位外币债券多头贴现回期初,以外币计价的债券期初价格为1×e-ft,投资者当时所支出本币则为1×e-ft×S；投资者期初同时卖出H个外币Call期权,每个Call期权价格为Co(以本币计价),所收取的本币为H×Co,这样就减少了期初的本币支出,则以本币衡量的套期保值组合期初总支出Vo为
Vo＝Se-ft－H×Co (8)
再次,通过构造无风险投资组合,求出外币Call期权价值。显然,只有当以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt与期初价值Vo之比等于本币资金市场上无风险收益率时,这种组合就不存在超额无风险利润(若期末价值与期初价值之比不等于本币无风险收益率,就会有获取超额无风险利润的套利机会),即
Vt (dCu－uCd)/(Cu－Cd)×S
─＝────────────＝ert (9)
Vo Se-ft－H×Co
最后解得
Co＝(φ×Cu＋(1－φ)×Cd)e-rt (10)
其中
e(r-f)t－d
φ＝────── (11)
u－d
那么,在(10)式中,φ的经济涵义到底是什么呢?
利用反证法,可以证明:
1≥φ≥0 (12)
已知在利率平价状态下,该周期末的远期汇率
F＝Se(r-f)t (13)
(13)式代入(11)式得
φ＝(F/S－d)/(u－d) (14)
若φ＜0,由(14)式可知F＜dS,则套利者可通过借外币,买本币,投资本币,买入远期外币的抛补套利,获得额外无风险利润;
同样,若φ＞1,即F＞uS,则套利者可通过借本币,买外币,投资外币,卖出远期外币的抛补套利,获得额外无风险利润。由于市场套利的力量,将使φ维持在0和1之间。
如果将图1二项式分支过程理解为一个伯努利概型的过程,这个φ值可理解为期初即期汇率S上升到期末即期汇率uS的概率;当然从S下降到dS的概率为(1－φ)。特别要指出的是,只有当这个φ值与u,d的关系满足(11)式时,才有可能构造无风险投资组合,该组合既不存在汇率变动风险,也不存在获取超额无风险利润的套利机会;并且,当(11)式满足时,则在φ、u和d三个变量中,一个变量可由另外两个变量所确定。
当然,当即期汇率随时间变化时,套期比率H也随时间变化,应及时调整组合中各资产头寸量,保持期权组合δ中性。
二、Call期权定价的一般表达式
以上推导出的单周期Call期权定价式可推广到n周期的情形,期权有效期t按n周期平分后每个周期的时间间隔为t/n,按复利计算一个周期远期汇率为
F＝Se(r-f)t/n (15)
每个周期对应的上升概率为
e(r-f)t/n－d
q＝─────── (16)
u－d
n周期即期汇率二项式分支如图3所示,n周期外币Call价值二项式分支如图4所示。
unS j＝n
q uuS
q uS un-1dS j＝n-1
ujdn-jS j
S 1－q udS
q
udn-1S j＝
1－q dS
1－q ddS dnS j＝0
0└──周期1 ──┴──周期2 ─┴─ 周期n─┘t
图3 n周期即期汇率二项式分支图
Cun＝max{0,unS－X} j＝n
q Cuu
q Cu Cudn-1＝max{0,udn-1S－X} j＝n-1
1-q
C q Cud Cujdn-j＝max{0,ujdn-jS－X} j
1-q Cd Cudn-1＝max{0,udn-1S－X} j＝1
1-q Cdd
Cdn＝max{0,dnS－X} j＝0
0└─周期1 ─┴─周期2 ┴ 周期n─┘t
图4 n周期外币Call价值二项式分支图
由图3可知,从期初价格为S经过n周期后价格达到ujdn-jS点的概率为qj(1-q)n-j,n周期后出现这个价格点总次数为n!/(j!(n-j)!)次。
n n!
C＝∑ ─────qj(1-q)n-j×max{0,ujdn-jS－X}e-rt/n×n (17)
j＝0 j!(n-j)!
设a是满足uadn-aS＞X的最小非负整数,
即a是大于(ln(X/S))/(ln(u/d))最小非负整数。
当a＞n,C＝0 (18)
当a＜n,有如下两种情形:
对j＜a,max{0,ujdn-jS－X}＝0
对j＞a,max{0,ujdn-jS－X}＝ujdn-jS－X
n n!
C＝∑ ───── qj(1-q)n-j×(ujdn-jS－X)e-rt (19)
j＝a j!(n-j)!
令 q'＝ue-(r-f)t/n×q (20)
q'e(r-f)t/n
得 q＝────── (21)
u
代入上式得到
n n! n n!
C＝Se-ft∑ ─────q'j(1-q')n-j－Xe-rt∑ ────qj(1-q)n-j (22)
j＝a j!(n-j)! j＝a j!(n-j)!
令
n n!
B'(a,n,q')＝∑ ───── q'j(1-q')n-j (23)
j＝a j!(n-j)!
n n!
B(a,n,q)＝∑─────qj(1-q)n-j (24)
j＝a j!(n-j)!
得到:
C＝Se-ftB'(a,n,q')－Xe-rtB(a,n,q) (25)
B(a,n,q)的涵义是什么呢?实际上B(a,n,q)是经过n次伯努利试验后,上升u倍事件落在a和n之间的累积的概率,q是一次伯努利试验后,价格上升u倍事件的概率。
(25)式就是一般期权定价公式,有较大的适用范围。当我们把时间轴做无穷细分(无穷周期,即n→∞)时,若将来即期汇率服从一定分布(例如即期汇价的对数变化遵循Wiener-Levy过程),则欧式Call期权价格二项式定价公式的极限形式就是Black─Scholes的外币期权定价式。因篇幅所限,证明从略。